/* We give here the PORC formulae for the functions g(r,s;p) giving the number of p-class two groups of order p^(r+s) on r generators. This file is a MAGMA program which defines the polynomials. The functions are given as polynomials in 44 variables Y1,Y2,...,Y44. These polynomials DON'T all work for p=3,5,7 which are exceptional primes in Lemma 3.1 from Higman's PORC paper. (And all of the polynomials are suspect for p=2.) Specifically, the functions g(r,s;p) for r=1,2,3,4 are valid for all odd primes. The functions g(5,s;p) are valid for p>5, and the functions g(6,s;p) are valid for p>7. The polynomial g(r,s;p) is denoted by grs. We also define the polynomials p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8 giving the number of p-class two groups of order p^2,p^3,...,p^8. (Note that we EXCLUDE the elementary abelian groups of these orders.) */ P:=PolynomialRing(Rationals(),44); //Y1 is the prime p, Y2=GCD(p-1,3), Y3=GCD(p-1,4), Y4=GCD(p-1,5), //Y5=GCD(p+1,3), Y6=GCD(p+1,5), Y7=GCD(p^2+1,5), Y8=GCD(p-1,7), //Y9=GCD(p-1,8), Y10=GCD(p-1,9), Y11=GCD(p-1,11), Y12=GCD(p+3,8), //Y13=GCD(p+5,8), Y14=GCD(p+1,8), Y15=GCD(p+3,5), Y16=GCD(p+2,5), //Y17=GCD(p+8,11), Y18=GCD(p+7,11), Y19=GCD(p+6,11), Y20=GCD(p+2,11) //Y21=GCD(p-1,16), Y22=GCD(p-1,13), Y23=GCD(p-1,17), Y24=GCD(p-1,19) //Y25=GCD(p+7,16), Y26=GCD(p+1,11), Y27=GCD(p+1,7), Y28=GCD(p+1,13) //Y29=GCD(p+1,9), Y30:=GCD(p+9,16), Y31=GCD(p+3,7), Y32=GCD(p+10,13) //Y33=GCD(p+4,13), Y34=GCD(p+12,19), Y35=GCD(p+8,19), Y36=GCD(p+5,7), //Y37=GCD(p+2,9), Y38=GCD(p+5,9), Y39=GCD(p+13,16), Y40=GCD(p+5,16), //Y41=GCD(p+7,9), Y42=GCD(p+4,9), Y43=GCD(p+4,7), Y44=GCD(p+2,7) /* If you choose a prime p and set vals:=[p,GCD(p-1,3),GCD(p-1,4),GCD(p-1,5),GCD(p+1,3),GCD(p+1,5), GCD(p^2+1,5),GCD(p-1,7),GCD(p-1,8),GCD(p-1,9),GCD(p-1,11),GCD(p+3,8), GCD(p+5,8),GCD(p+1,8),GCD(p+3,5),GCD(p+2,5),GCD(p+8,11),GCD(p+7,11), GCD(p+6,11),GCD(p+2,11),GCD(p-1,16),GCD(p-1,13),GCD(p-1,17), GCD(p-1,19),GCD(p+7,16),GCD(p+1,11),GCD(p+1,7),GCD(p+1,13), GCD(p+1,9),GCD(p+9,16),GCD(p+3,7),GCD(p+10,13),GCD(p+4,13), GCD(p+12,19),GCD(p+8,19),GCD(p+5,7),GCD(p+2,9),GCD(p+5,9), GCD(p+13,16),GCD(p+5,16),GCD(p+7,9),GCD(p+4,9),GCD(p+4,7), GCD(p+2,7)]; then you can get the value of one of these polynomials at p with the command Evaluate(g45,vals); */ g11:=1; g21:=3; g22:=3; g23:=1; g31:=4; g32:=Y1 + 14; g33:=3*Y1 + 27; g34:=g32; g35:=g31; g36:=1; g41:=6; g42:=4*Y1 + 48; g43:=Y1^5 + 2*Y1^4 + 7*Y1^3 + 25*Y1^2 + Y1*Y2 + 88*Y1 + 9/2*Y2 + Y3 + 1/2*Y5 + 268; g44:=Y1^8 + 2*Y1^7 + 5*Y1^6 + 10*Y1^5 + 24*Y1^4 + 53*Y1^3 + Y1^2*Y2 + 138*Y1^2 + 6*Y1*Y2 + 2*Y1*Y3 + 323*Y1 + 21*Y2 + 6*Y3 + 5/4*Y4 + 2*Y5 + 1/4*Y6 + 1/4*Y7 + 2753/4; g45:=Y1^9 + 2*Y1^8 + 5*Y1^7 + 10*Y1^6 + 21*Y1^5 + 44*Y1^4 + 94*Y1^3 + 2*Y1^2*Y2 + Y1^2*Y3 + 216*Y1^2 + 10*Y1*Y2 + 4*Y1*Y3 + 1/4*Y1*Y4 + 1/4*Y1*Y6 + 1/4*Y1*Y7 + 1889/4*Y1 + 33*Y2 + 12*Y3 + 9/4*Y4 + Y5 + 1/4*Y6 + 1/4*Y7 + 3657/4; g46:=g44; g47:=g43; g48:=g42; g49:=g41; g410:=1; g51:=7; g52:=Y1^2 + 15*Y1 + 1/2*Y2 + 1/2*Y5 + 123; g53:=Y1^11 + 2*Y1^10 + 5*Y1^9 + 10*Y1^8 + 20*Y1^7 + 38*Y1^6 + 74*Y1^5 + 142*Y1^4 + 3/2*Y1^3*Y2 + 1/2*Y1^3*Y5 + 275*Y1^3 + 19/2*Y1^2*Y2 + 2*Y1^2*Y3 + 3/2*Y1^2*Y5 + 552*Y1^2 + 65/2*Y1*Y2 + 11*Y1*Y3 + Y1*Y4 + 5/2*Y1*Y5 + 1110*Y1 + 73*Y2 + 29*Y3 + 3*Y4 + 6*Y5 + 1986; g54:=Y1^19 + 2*Y1^18 + 5*Y1^17 + 10*Y1^16 + 20*Y1^15 + 35*Y1^14 + 61*Y1^13 + 99*Y1^12 + 160*Y1^11 + 249*Y1^10 + 389*Y1^9 + 605*Y1^8 + 939*Y1^7 + Y1^6*Y2 + 1457*Y1^6 + 15/2*Y1^5*Y2 + 1/2*Y1^5*Y5 + 2251*Y1^5 + 33*Y1^4*Y2 + 3*Y1^4*Y3 + Y1^4*Y5 + 3476*Y1^4 + 111*Y1^3*Y2 + 26*Y1^3*Y3 + 5/4*Y1^3*Y4 + 3*Y1^3*Y5 + 1/4*Y1^3*Y6 + 1/4*Y1^3*Y25 + 1/4*Y1^3*Y26 + 5292*Y1^3 + 613/2*Y1^2*Y2 + 106*Y1^2*Y3 + 41/4*Y1^2*Y4 + 15/2*Y1^2*Y5 + 1/4*Y1^2*Y6 + 1/4*Y1^2*Y25 + 1/4*Y1^2*Y26 + 7987*Y1^2 + 657*Y1*Y2 + 282*Y1*Y3 + 163/4*Y1*Y4 + 12*Y1*Y5 + 3/4*Y1*Y6 + Y1*Y8 + 1/4*Y1*Y25 + 1/4*Y1*Y26 + 11229*Y1 + 1995/2*Y2 + 478*Y3 + 367/4*Y4 + 51/2*Y5 + 7/4*Y6 + 11*Y8 + 25/2*Y9 + 1/2*Y22 + 3/4*Y25 + 3/4*Y26 + 13635; g55:=Y1^25 + 2*Y1^24 + 5*Y1^23 + 10*Y1^22 + 20*Y1^21 + 36*Y1^20 + 63*Y1^19 + 104*Y1^18 + 169*Y1^17 + 264*Y1^16 + 405*Y1^15 + 604*Y1^14 + 891*Y1^13 + 1292*Y1^12 + 1865*Y1^11 + 2673*Y1^10 + 3835*Y1^9 + Y1^8*Y2 + 5490*Y1^8 + 17/2*Y1^7*Y2 + 1/2*Y1^7*Y5 + 7851*Y1^7 + 41*Y1^6*Y2 + Y1^6*Y3 + Y1^6*Y5 + 11187*Y1^6 + 145*Y1^5*Y2 + 13*Y1^5*Y3 + 1/4*Y1^5*Y4 + 3*Y1^5*Y5 + 1/4*Y1^5*Y6 + 1/4*Y1^5*Y25 + 1/4*Y1^5*Y26 + 15841*Y1^5 + 417*Y1^4*Y2 + 80*Y1^4*Y3 + 5/2*Y1^4*Y4 + 5*Y1^4*Y5 + 1/2*Y1^4*Y6 + 1/2*Y1^4*Y25 + 1/2*Y1^4*Y26 + 22173*Y1^4 + 1034*Y1^3*Y2 + 320*Y1^3*Y3 + 97/4*Y1^3*Y4 + 11*Y1^3*Y5 + 5/4*Y1^3*Y6 + 3/4*Y1^3*Y25 + 3/4*Y1^3*Y26 + 30384*Y1^3 + 4477/2*Y1^2*Y2 + 906*Y1^2*Y3 + 447/4*Y1^2*Y4 + 41/2*Y1^2*Y5 + 7/4*Y1^2*Y6 + 2*Y1^2*Y8 + 3/4*Y1^2*Y25 + 3/4*Y1^2*Y26 + 40150*Y1^2 + 3963*Y1*Y2 + 1874*Y1*Y3 + 324*Y1*Y4 + 31*Y1*Y5 + 3*Y1*Y6 + 23*Y1*Y8 + 27/2*Y1*Y9 + 1/2*Y1*Y22 + 3/2*Y1*Y25 + 3/2*Y1*Y26 + 48362*Y1 + 10251/2*Y2 + 2570*Y3 + 2461/4*Y4 + 107/2*Y5 + 21/4*Y6 + 105*Y8 + 235/2*Y9 + 18*Y20 + 6/5*Y21 + 5/2*Y22 + 3/2*Y23 + 3/2*Y24 + 7/4*Y25 + 7/4*Y26 + 1/5*Y27 + 1/5*Y28 + 1/5*Y29 + 1/5*Y30 + 49410; g56:=Y1^29 + 2*Y1^28 + 5*Y1^27 + 10*Y1^26 + 20*Y1^25 + 36*Y1^24 + 64*Y1^23 + 106*Y1^22 + 174*Y1^21 + 274*Y1^20 + 424*Y1^19 + 637*Y1^18 + 944*Y1^17 + 1367*Y1^16 + 1957*Y1^15 + 2759*Y1^14 + 3861*Y1^13 + 5357*Y1^12 + 7415*Y1^11 + 10234*Y1^10 + 5/2*Y1^9*Y2 + 1/2*Y1^9*Y5 + 14119*Y1^9 + 16*Y1^8*Y2 + Y1^8*Y5 + 19449*Y1^8 + 72*Y1^7*Y2 + Y1^7*Y3 + 3*Y1^7*Y5 + 26715*Y1^7 + 244*Y1^6*Y2 + 13*Y1^6*Y3 + 5*Y1^6*Y5 + 36519*Y1^6 + 691*Y1^5*Y2 + 91*Y1^5*Y3 + 5/4*Y1^5*Y4 + 10*Y1^5*Y5 + 1/4*Y1^5*Y6 + 1/4*Y1^5*Y25 + 1/4*Y1^5*Y26 + 49423*Y1^5 + 1689*Y1^4*Y2 + 396*Y1^4*Y3 + 37/2*Y1^4*Y4 + 16*Y1^4*Y5 + 1/2*Y1^4*Y6 + 1/2*Y1^4*Y25 + 1/2*Y1^4*Y26 + 65863*Y1^4 + 3684*Y1^3*Y2 + 1262*Y1^3*Y3 + 455/4*Y1^3*Y4 + 29*Y1^3*Y5 + 7/4*Y1^3*Y6 + Y1^3*Y8 + 3/4*Y1^3*Y25 + 3/4*Y1^3*Y26 + 85291*Y1^3 + 7129*Y1^2*Y2 + 3073*Y1^2*Y3 + 1701/4*Y1^2*Y4 + 48*Y1^2*Y5 + 9/4*Y1^2*Y6 + 17*Y1^2*Y8 + 9/2*Y1^2*Y9 + 1/2*Y1^2*Y22 + 3/4*Y1^2*Y25 + 3/4*Y1^2*Y26 + 105337*Y1^2 + 11530*Y1*Y2 + 5654*Y1*Y3 + 2157/2*Y1*Y4 + 66*Y1*Y5 + 9/2*Y1*Y6 + 111*Y1*Y8 + 159/2*Y1*Y9 + 6*Y1*Y20 + 5/2*Y1*Y22 + 3/2*Y1*Y25 + 3/2*Y1*Y26 + 117234*Y1 + 27467/2*Y2 + 6956*Y3 + 7419/4*Y4 + 205/2*Y5 + 35/4*Y6 + 357*Y8 + 402*Y9 + 84*Y20 + 6*Y21 + 6*Y22 + 3/2*Y23 + 3/2*Y24 + 7/4*Y25 + 7/4*Y26 + 109913; g57:=Y1^31 + 2*Y1^30 + 5*Y1^29 + 10*Y1^28 + 20*Y1^27 + 36*Y1^26 + 64*Y1^25 + 107*Y1^24 + 176*Y1^23 + 278*Y1^22 + 432*Y1^21 + 652*Y1^20 + 970*Y1^19 + 1410*Y1^18 + 2023*Y1^17 + 2854*Y1^16 + 3986*Y1^15 + 5501*Y1^14 + 7548*Y1^13 + 10293*Y1^12 + 14013*Y1^11 + Y1^10*Y2 + 19033*Y1^10 + 19/2*Y1^9*Y2 + 1/2*Y1^9*Y5 + 25835*Y1^9 + 47*Y1^8*Y2 + Y1^8*Y5 + 35003*Y1^8 + 353/2*Y1^7*Y2 + 3*Y1^7*Y3 + 7/2*Y1^7*Y5 + 47269*Y1^7 + 536*Y1^6*Y2 + 35*Y1^6*Y3 + 6*Y1^6*Y5 + 63448*Y1^6 + 2793/2*Y1^5*Y2 + 204*Y1^5*Y3 + 9/2*Y1^5*Y4 + 25/2*Y1^5*Y5 + 1/2*Y1^5*Y6 + 84228*Y1^5 + 3205*Y1^4*Y2 + 796*Y1^4*Y3 + 43*Y1^4*Y4 + 20*Y1^4*Y5 + Y1^4*Y6 + 109818*Y1^4 + 13267/2*Y1^3*Y2 + 2348*Y1^3*Y3 + 915/4*Y1^3*Y4 + 73/2*Y1^3*Y5 + 11/4*Y1^3*Y6 + 4*Y1^3*Y8 + 1/2*Y1^3*Y9 + 1/2*Y1^3*Y22 + 1/4*Y1^3*Y25 + 1/4*Y1^3*Y26 + 138753*Y1^3 + 24503/2*Y1^2*Y2 + 5386*Y1^2*Y3 + 3139/4*Y1^2*Y4 + 119/2*Y1^2*Y5 + 15/4*Y1^2*Y6 + 41*Y1^2*Y8 + 29/2*Y1^2*Y9 + 5/2*Y1^2*Y22 + 1/2*Y1^2*Y23 + 1/2*Y1^2*Y24 + 1/4*Y1^2*Y25 + 1/4*Y1^2*Y26 + 166286*Y1^2 + 38167/2*Y1*Y2 + 9457*Y1*Y3 + 7571/4*Y1*Y4 + 165/2*Y1*Y5 + 27/4*Y1*Y6 + 222*Y1*Y8 + 339/2*Y1*Y9 + 18*Y1*Y20 + 13/2*Y1*Y22 + 1/4*Y1*Y25 + 1/4*Y1*Y26 + 178883*Y1 + 21909*Y2 + 11108*Y3 + 12417/4*Y4 + 125*Y5 + 49/4*Y6 + 625*Y8 + 704*Y9 + 162*Y20 + 12*Y21 + 11*Y22 + 5/2*Y23 + 5/2*Y24 + 3/4*Y25 + 3/4*Y26 + 161486; g58:=g57; g59:=g56; g510:=g55; g511:=g54; g512:=g53; g513:=g52; g514:=g51; g515:=1; g61:=9; g62:= Y1^3 + 7*Y1^2 + 53*Y1 + 2*Y2 + 316; g63:= Y1^18 + 2*Y1^17 + 5*Y1^16 + 10*Y1^15 + 19*Y1^14 + 34*Y1^13 + 60*Y1^12 + 100*Y1^11 + 166*Y1^10 + 267*Y1^9 + 429*Y1^8 + 677*Y1^7 + 1/2*Y1^6*Y2 + 1/2*Y1^6*Y5 + 1079*Y1^6 + 3*Y1^5*Y2 + Y1^5*Y5 + 1697*Y1^5 + 18*Y1^4*Y2 + 2*Y1^4*Y3 + 3*Y1^4*Y5 + 2693*Y1^4 + 69*Y1^3*Y2 + 17*Y1^3*Y3 + 6*Y1^3*Y5 + 4210*Y1^3 + 447/2*Y1^2*Y2 + 76*Y1^2*Y3 + 4*Y1^2*Y4 + 27/2*Y1^2*Y5 + 6596*Y1^2 + 1027/2*Y1*Y2 + 224*Y1*Y3 + 26*Y1*Y4 + 35/2*Y1*Y5 + Y1*Y8 + 9862*Y1 + 804*Y2 + 385*Y3 + 67*Y4 + 31*Y5 + Y6 + 19/3*Y8 + 9/2*Y9 - 1/2*Y14 + 1/3*Y31 + 1/3*Y36 + 12838; g64:= Y1^32 + 2*Y1^31 + 5*Y1^30 + 10*Y1^29 + 20*Y1^28 + 35*Y1^27 + 62*Y1^26 + 101*Y1^25 + 164*Y1^24 + 254*Y1^23 + 390*Y1^22 + 579*Y1^21 + 854*Y1^20 + 1229*Y1^19 + 1754*Y1^18 + 2461*Y1^17 + 3432*Y1^16 + 4728*Y1^15 + 6489*Y1^14 + 8840*Y1^13 + 12020*Y1^12 + 16280*Y1^11 + 5/2*Y1^10*Y2 + 1/2*Y1^10*Y5 + 22035*Y1^10 + 17*Y1^9*Y2 + Y1^9*Y5 + 29759*Y1^9 + 151/2*Y1^8*Y2 + Y1^8*Y3 + 7/2*Y1^8*Y5 + 40150*Y1^8 + 499/2*Y1^7*Y2 + 13*Y1^7*Y3 + 11/2*Y1^7*Y5 + 53984*Y1^7 + 1411/2*Y1^6*Y2 + 81*Y1^6*Y3 + 27/2*Y1^6*Y5 + 72238*Y1^6 + 3489/2*Y1^5*Y2 + 341*Y1^5*Y3 + 6*Y1^5*Y4 + 43/2*Y1^5*Y5 + 95704*Y1^5 + 7851/2*Y1^4*Y2 + 1123*Y1^4*Y3 + 237/4*Y1^4*Y4 + 87/2*Y1^4*Y5 + 1/4*Y1^4*Y6 + 1/4*Y1^4*Y15 + 1/4*Y1^4*Y16 + 124689*Y1^4 + 16105/2*Y1^3*Y2 + 3035*Y1^3*Y3 + 589/2*Y1^3*Y4 + 137/2*Y1^3*Y5 + 1/2*Y1^3*Y6 + 7*Y1^3*Y8 + 3*Y1^3*Y9 + 1/2*Y1^3*Y15 + 1/2*Y1^3*Y16 + 157829*Y1^3 + 14858*Y1^2*Y2 + 6733*Y1^2*Y3 + 3929/4*Y1^2*Y4 + 118*Y1^2*Y5 + 9/4*Y1^2*Y6 + 371/6*Y1^2*Y8 + 37*Y1^2*Y9 + Y1^2*Y10 + 3/4*Y1^2*Y15 + 3/4*Y1^2*Y16 + 1/2*Y1^2*Y27 + 1/3*Y1^2*Y31 + 1/3*Y1^2*Y36 + 190813*Y1^2 + 22800*Y1*Y2 + 11587*Y1*Y3 + 9187/4*Y1*Y4 + 146*Y1*Y5 + 15/4*Y1*Y6 + 808/3*Y1*Y8 + 218*Y1*Y9 + 18*Y1*Y10 + 3/4*Y1*Y15 + 3/4*Y1*Y16 + 1/3*Y1*Y31 + 1/3*Y1*Y36 + 209950*Y1 + 7*Y2*Y3 + 49891/2*Y2 + 13204*Y3 + 14089/4*Y4 + 405/2*Y5 + 33/4*Y6 + 1347/2*Y8 + 721*Y9 + 152*Y10 + 15*Y11 - Y14 + 5/4*Y15 + 5/4*Y16 + 3/2*Y27 + Y29 + Y31 + Y36 + 191635; g65:= Y1^44 + 2*Y1^43 + 5*Y1^42 + 10*Y1^41 + 20*Y1^40 + 36*Y1^39 + 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